Question

如图1，射线OC、OD在∠AOB的内部，且∠AOB=150°，∠COD=30°，射线OM、ON分别平分∠AOD、∠BOC，

（1）求∠MON的大小，并说明理由；

（2）如图2，若∠AOC=15°，将∠COD绕点O以每秒x°的速度逆时针旋转10秒钟，此时∠AOM︰∠BON=7︰11，如图3所示，求x的值．

Answer

（1）∠MON=60°（理由略） ；

（2）由题意，∠BOD=105°-10x°；∠AOC=15°+10x°；

∴∠BOC=135°-10x°，∠AOD=45°+10x°，

∵∠AOM：∠BON=7：11，且OM、ON分别平分∠AOD、∠BOC，

∴∠AOD：∠BOC=7：11，即（45°+10x°）：（135°-10x°）=7：11；解之得x=2.5

【解析】（1）根据∠AOC=60°，∠DOC=30°，得出∠DOC、∠DOM和∠MOC的度数，再根据∠AOC=60°，∠AOB=150°，得出∠BOC、∠NOC和∠NOD=45°-30°的度数，即可求出∠MOC=∠NOD；

（2）①如图（1）所示，按题意，∠MON=∠MOD+∠NOC-∠COD=（∠AOD+∠BOC）-∠COD=（∠AOB+∠COD）-∠COD=60°，即∠MON=60°；

②先令∠MOC=∠AOC=x，得出∠DOM=30°-x，求出x的值，即可求出∠DOM、∠NOD和∠AOC的值，即可求出∠NOD与∠MOC的数量关系．