Question

泰州新星电子科技公司积极应对世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12

（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；

（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；

（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？

Answer

（1）设直线OA的解析式为y=kx，

∵点O（0，0），A（4，-40）在该直线上，

∴-40=4k，

解得k=-10，

∴y=-10x；

∵点B在抛物线y=-5x2+205x-1230上，

设B（10，m），则m=320．

∴点B的坐标为（10，320）．

∵点A为抛物线的顶点，

∴设曲线AB所在的抛物线的解析式为y=a（x-4）2-40，

∴320=a（10-4）2-40，

解得a=10，

即y=10（x-4）2-40=10x2-80x+120．

∴y=-10x(x=1、2、3、4)

y=10x2-80x+120(x=5、6、7、8、9)

y=-5x2+205x-1230(x=10、11、12)

（2）利用第x+1个月的利润应该是前x+1个月的利润之和减去前x个月的利润之和：

-10(x+1)-[-(10x)](x=1、2、3、4)

10(x+1)2-80(x+1)+120-[10x2-80x+120](x=5、6、7、8、9)

-5(x+1)2+205(x+1)-1230-(-5x2+205x-1230)(x=10、11、12)

即S=-10(x=1、2、3、4)

S=20x-90(x=5、6、7、8、9)

S=-10x+210(x=10、11、12)

（3）由（2）知当x=1，2，3，4时，s的值均为-10，

当x=5，6，7，8，9时，当x=9时s有最大值90，

而在x=10，11，12时，s=-10x+210，

当x=10时，s有最大值110，

因此第9月公司所获利润最大，它是110万元．

【解析】（1）根据各段图象所过的特殊点易求其解析式，注意自变量的取值范围，综合起来得结论；

（2）在各段中，s=yx-y（x-1）；

（3）根据函数性质分别求出各段中s的最大值比较后得结论．