Question

如图（1），我们将相同的两块含30°角的直角三角尺Rt△DEF与Rt△ABC叠合，使DE在AB上，DF过点C，已知AC=DE=6。将图（1）中的△DEF绕点D逆时针旋转（DF与AB不重合），使边DF、DE分别交AC、BC于点P、Q，如图（2）。

(1)求证：△CQD∽△APD

(2)连结PQ，设AP=x，求面积S_△PCQ 关于x的函数关系式；

(3)将图（1）中的△DEF 向左平移（A、D不重合），使边FD、FE分别交AC、BC于点M、N，如图（3）,连结MN，试问△MCN面积是否存在最大值、如不存在，请说明理由；如存在请求出S_△MCN 的最大值，

Answer

（1）∵∠F=∠B=30°，∠ACB=∠BDF=90°

∴∠BCD=∠A=60°，

∵∠ADP+∠PDC=90°，∠CDE+∠PDC=90°

∴△CQD∽△APD

（2）∵在Rt△ADC中，AD=3，DC=3

又∵△CQD∽△APD，CQ=x．

∴S△PCQ=

（3）△BEN是等腰三角形．BE=6-t，BN=．

S△MCN= 

S△MCN 的最大值为

【解析】（1）易得∠BCD=∠A=60°，∠ADP=∠CDE，那么可得△CQD∽△APD；

（2）利用相似可得CQ=x，那么PC=6-x．可表示出S△PCQ；

（3）由外角∠FEN=60°，∠B=30°，可得∠BNE=30°，∴NE=BN，那么△BEN是等腰三角形．易得AD=t，AB=12，那么BE=12-AD-DE=6-t．过E作EG⊥BN于点G．利用30°的三角函数可求得BG，进而求得BN，然后利用t表示出MC、CN，即可表示出所求面积，再求出S△MCN 的最大值。