Question

 已知：如图，在矩形中，是对角线.点为矩形外一点且满足，.交于点，连接，过点作交于.

（1）若，求矩形的面积；

（2）若，求证：.

Answer

（1）3（2）证明见解析

【解析】（1）∵AP⊥CP且AP＝CP

        ∴△APC为等腰直角三角形

        ∵AP＝

        ∴AC＝.................1分

        ∵AB＝BC

        ∴设AB＝x，BC＝3x

        ∴在Rt△ABC中

        x2+(3x)2=10

          10x2=10

           x=1.................3分

        ∴.................4分

     （2）延长AP，CD交于Q

          ∵∠1+∠CND=∠2+∠PNA=900

          且∠CND=∠ANP

          ∴∠1=∠2

         又∠3+∠5=∠4+∠5=900

          ∴∠3=∠4

         又∵AP＝CP

          ∴△APM≌△CPD

          ∴DP＝PM

         又∵CD＝PM

          ∴CD＝PD

          ∴∠1＝∠3

          ∠1+∠Q＝∠3+∠6＝90°

          ∵∠1＝∠3

          ∴∠Q=∠6

          ∴DQ=DP=CD

          ∴D为CQ中点

         又∵AD⊥CQ

          ∴AC＝AQ＝AP+PQ

         又∵∠1＝∠2

          ∠APN＝∠CPQ＝900

          AP=CP   ∴△APN≌△CPQ

∴PQ＝PN

          ∴AC＝AP+PQ＝AP+PN.................10分

（1）由已知条件知△APC为等腰直角三角形，即可求得AC的长，再利用勾股定理求得AB，BC的长，从而求得矩形ABCD的面积

（2）延长AP，CD交于Q,通过角之间的等量关系，求得△APN≌△CPQ，得出PQ＝PN，从而求得结论