Question

如图，梯形中，∥，，，．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在线段上运动；动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度在线段上运动．以为边作等边△，与梯形在线段的同侧．设点、运动时间为，当点到达点时，运动结束．

  （1）当等边△的边恰好经过点时，求运动时间的值；

  （2）在整个运动过程中，设等边△与梯形的重合部分面积为，请直接写出与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围；

  （3）如图，当点到达点时，将等边△绕点旋转()，

直线分别与直线、直线交于点、．是否存在这样的，使△ 为等腰三角形？若存在，请求出此时线段的长度；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）4s（2）

（3）DM的长为：

【解析】（1）当EG经过点A时

     ∴△EGF为等边△

     ∴∠AEF＝600＝∠B+∠BAE

     ∴∠BAE＝∠B＝300

     ∴BE＝AE＝t＝EF

     ∴此时G与A,重合

     ∴在Rt△BAF中

      2t•cos300=4

      t=4s              ......3分

 （2）.................8分

  （3）存在；①当M点在线段CD上时，

       △DMN为等腰三角形

       当MD＝MN

       此时：∠C＝∠1＝∠N=∠CDN＝300

       ∴ME＝MC

      作MH⊥CE

      EH=

      ∴

      ∴DM=

      当D＝D时

      此时

      D＝，不存在

      当ND＝NM时，则∠NDM＝∠DMN＝300，则M不在线段CD上. ∴舍

②当M在CD延长线上时

  当N1D=N1M1时

   ∠1＝∠M1,又∠1＝∠2

   ∴∠2＝∠

   ∴EM1=CE=

   过E作EH⊥CM1

   则CM1=2CH=2×CE•cos300

    =

   ∴DM1=

   当DM2=DN2时

   可知CM2=CE=

   ∴DM2=

   当M3D=M3N时

   此时∠M2N2D=∠1=30°

   ∴此时：∠M3EC=300

   则M不在CD延长线上

   ∴舍去

③当M在DC延长线上时

   ∵∠D为1500

   ∴△DMN为等腰△时

    只有DM＝DN

   则：∠N＝∠1＝∠2＝∠M

   ∴CE＝CM＝

   ∴DM＝4

综上所述DM的长为：.................12分

本试题主要是考查了等边△与梯形的重合部分面积为与时间之间的函数关系式，以及利用三角形中的三角函数值得到边长问题的综合运用。

（1）当EG经过点A时

     ∴△EGF为等边△

     ∴∠AEF＝600＝∠B+∠BAE

     ∴∠BAE＝∠B＝300

     ∴BE＝AE＝t＝EF

     ∴此时G与A,重合

     ∴在Rt△BAF中

      2t•cos300=4

      t=4s

（2）根据时间与面积的关系式需要分情况讨论得到。

（3）当点到达点时，将等边△绕点旋转()，

直线分别与直线、直线交于点、．假设存在这样的，使△ 为等腰三角形

那么要对点M是在线段CD上，还是在线段CD的延长线上，还是在DC的延长线上三种情况来分析即可。