Question

如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.

（1）求证：△APE∽△ADQ；

（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S_△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S_△PEF取得最大值？最大值为多少？

（3）当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明）

Answer

（1）证∠APE=∠ADQ，∠AEP=∠AQD.

（2）注意到△APE∽△ADQ与△PDE∽△ADQ，及S△PEF=，

得S△PEF==.   ∴当，即P是AD的中点时，S△PEF取得最大值.

（3）作A关于直线BC的对称点A′，连DA′交BC于Q，则这个点Q就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点.

【解析】（1）证得∠APE=∠ADQ，∠AEP=∠AQD，即可得到△APE∽△ADQ；

（2）先由△APE∽△ADQ与△PDE∽△ADQ，及S△PEF=，

得S△PEF==，根据二次函数的性质即可结果；

（3）作A关于直线BC的对称点A′，连DA′交BC于Q，则这个点Q就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点.