Question

已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.

（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）.

①设AB的长为a，PB的长为b（b<a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；

②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.

（2）如图2，若PA²+PC²=2PB²，请说明点P必在对角线AC上.

Answer

（1）①S阴影=

②连结PP′，证△PBP′为等腰直角三角形，从而PC=6;

（2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理证出∠P′CP=90°，

（3）再证∠BPC+∠APB=180°，即点P在对角线AC上.

【解析】（1）△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积实际是大扇形OAC与小扇形BPP′的面积差，且这两个扇形的圆心角同为90度；

（2）连接PP′，证△PBP′为等腰直角三角形，从而可在Rt△PP′C中，用勾股定理求得PC=6；

（3）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理证出∠P′CP=90°，再证∠BPC+∠APB=180°，即点P在对角线AC上．