Question

如图，△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝BC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α。（0º＜α＜90º）得到△A₁B₁C₁，连结BB₁.设CB₁交AB于D，A₁B₁分别交AB、AC于E、F。

（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明（△ABC与△A₁B₁C₁全等除外）；

（2）当△BB₁D是等腰三角形时，求α；

（3）当α＝60º时，求BD的长。

Answer

【解析】
（1）全等的三角形有：

等。（只需写一个即可）

以证为例：

证明：

（2）在△CBB1中，∵CB=CB1，

又△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°      

①若，则∠B1DB=∠B1BD，∵∠B1DB=45°+α

（舍去）

②，即BD≠B1D     

③若BB1=BD，则，即  

由①②③可知，当△BB1D为等腰三角形时，α=30°      

（3）作DG⊥BC于G，设CG=x

在Rt△CDG中，

在Rt△DGB中，

【解析】（1）依据全等三角形的判定，可找出全等的三角形有：△CBD≌△CA1F或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF等．由旋转的意义可证∠A1CF=∠BCD，A1C=BC，∠A1=∠CBD=45°，所以△CBD≌△CA1F．

（2）当△BBD是等腰三角形时，要分别讨论B1B=B1D、BB1=BD、B1D=DB三种情况，第一，三种情况不成立，只有第二种情况成立，求得α=30°．

（3）作DG⊥BC于G，在直角三角形CDG和直角三角形DGB中，由三角函数即可求得BD的长．