Question

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c（a＞0）的顶点是C（0，1），直线l：y＝－ax＋3与这条抛物线交于P、Q两点，与x轴、y轴分别交于点M和N。

（1）设点P到x轴的距离为2，试求直线l的函数关系式；

（2）若线段MP与PN的长度之比为3:1，试求抛物线的函数关系式。

Answer

【解析】
（1）∵抛物线的顶点是C（0，1），∴b=0，c=1，

如图1，

∵a>0，直线l过点N（0，3）

∴M点在x轴正半轴上

∵点P到x轴的距离为2，即点P的纵坐标为2。

把y=2代入得，

∴P点坐标为（，2）      

∵直线与抛物线交于点P

∴点P在上，

∴a=1

∴直线l的函数关系式为       

（2）如图2，若点P在y轴的右边，记为P1，过点P1作P1A⊥x轴于A，

，

，

，即

∵ON=3，，即点P1的纵坐标为

把代入，得

∴点P1的坐标为（）       

又∵点P1是直线l与抛物线的交点。∴点P1在抛物线上，

∴抛物线的函数关系式为    

如图2，若点P在y轴的左边，记为P2。作P2B⊥x轴于B

。，

，

，即

∵ON=3，，即点P2的纵坐标为

由P2在直线l上可求得    

又∵P2在抛物线上，

    ∴抛物线的函数关系式为     

【解析】（1）由于抛物线的顶点为C（0，1），因此抛物线的解析式中b=0，c=1．即抛物线的解析式为y=ax2+1．已知了P到x轴的距离为2，即P点的纵坐标为2．可根据直线l的解析式求出P点的坐标，然后将P点坐标代入抛物线的解析式中即可求得a的值，也就能求出直线l的函数关系式．

（2）本题要根据相似三角形来求．已知了线段MP与PN的长度之比为3：1，如果过P作x轴的垂线，根据平行线分线段成比例定理即可得出P点的纵坐标的值．进而可仿照（1）的方法，先代入直线的解析式，然后再代入抛物线中即可求出a的值，也就求出了抛物线的解析式