Question

如图，矩形中，厘米，厘米（）．动点同时从点出发，分别沿，运动，速度是厘米／秒．过作直线垂直于，分别交，于．当点到达终点时，点也随之停止运动．设运动时间为秒．

（1）若厘米，秒，则______厘米；

（2）若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比；

（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求的取值范围；

（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯形的面积都相等？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1），

（2），使，相似比为

（3），

，即，

当梯形与梯形的面积相等，即

化简得，

，，则，

（4）时，梯形与梯形的面积相等

梯形的面积与梯形的面积相等即可，则

，把代入，解之得，所以．

所以，存在，当时梯形与梯形的面积、梯形的面积相等．

【解析】（1）容易知道△ANB∽△APM，利用相似三角形的对应边成比例就可以求出PM；

（2）若PNB∽△PAD，这样就可以求出t，也可以求出相似比；

（3）首先利用△AMP∽△ABN把QM，PM用t表示，然后就可以用t表示梯形PMBN与梯形PQDA的面积，根据已知可以得到关于t的方程，最后就可以根据t与a的关系式就可以讨论t的取值范围了；

（4）根据（3）已经得到t的取值范围，再根据梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等得到关于t的方程，求出t，再求出a，这样就可以判断a的值是否存在