Question

如图，直线经过点B(，2)，且与x轴交于点A．将抛物线沿x轴作左右平移，记平移后的抛物线为C，其顶点为P．

（1）求∠BAO的度数；

（2）抛物线C与y轴交于点E，与直线AB交于两点，其中一个交点为F，当线段EF∥x轴时，求平移后的抛物线C对应的函数关系式；

（3）在抛物线平移过程中，将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB，点D能否落在抛物线C上？如能，求出此时抛物线C顶点P的坐标；如不能，说明理由．

Answer

【解析】
(1)∵点B在直线AB上,求得b=3,

∴直线AB：,  

∴A（，0），即OA=．

作BH⊥x轴，垂足为H．则BH=2，OH=，AH=．

∴ ．

(2)设抛物线C顶点P（t，0），则抛物线C：，

∴E（0，）

∵EF∥x轴，∴点E、F关于抛物线C的对称轴对称, ∴F（2t，）．

∵点F在直线AB上, 

∴抛物线C为. 

(3)假设点D落在抛物线C上，

不妨设此时抛物线顶点P(t，0)，则抛物线C:，AP=+ t，

连接DP，作DM⊥x轴，垂足为M．由已知，得△PAB≌△DAB，

又∠BAO＝30°，∴△PAD为等边三角形．PM=AM＝，

∴ 

∵点D落在抛物线C上，

∴ 

当时，此时点P，点P与点A重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去．所以点P为（，0）  ∴当点D落在抛物线C上顶点P为（，0）.

【解析】（1）先根据题意求出b的值，得到直线AB的解析式，再求出直线与x轴的交点A的坐标，即可求出OA的长，作BH⊥x轴，垂足为H，即可求出BH、OH、AH的长，从而得到结果；

（2）先根据顶点式设出抛物线解析式，即可表示出点E的坐标，再由EF∥x轴，可知点E、F关于抛物线C的对称轴对称，从而可以表示出点F的坐标，再根据点F在直线AB上即可求出结果；

（3）先假设点D落在抛物线C上，根据顶点式设出解析式，证得△PAB≌△DAB，可得△PAD为等边三角形，再根据等边三角形的性质及抛物线特征即可得到结果。