Question

如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE = 60°，∠C = 30°．

⑴判断直线CD是否是⊙O的切线，并说明理由；

⑵若CD =  ，求BC的长．

Answer

（1）CD是⊙O的切线．

证明：如图，连接OD．

∵∠ADE=60°，∠C=30°，∴∠A=30°．

∵OA=OD，∴∠ODA=∠A=30°．

∴∠ODE=∠ODA+∠ADE=30°+60°=90°，∴OD⊥CD．

∴CD是⊙O的切线．

（2）【解析】
在Rt△ODC中，∠ODC=90°， ∠C=30°， CD=．

∵tanC=，

∴OD=CD·tanC=×=3．

∴OC=2OD =6．

∵OB=OD=3，∴BC=OC-OB=6-3=3．

【解析】（1）根据切线的判定定理，连接OD，只需证明OD⊥CD，根据三角形的外角的性质得∠A=30°，再根据等边对等角得∠ADO=∠A，从而证明结论；

（2）在30°的直角三角形OCD中，求得OD，OC的长，则BC=OC-OB．