Question

如图15，在△ABC和△PQD中，AC = k BC，DP = k DQ，∠C =∠PDQ，D、E分别是AB、AC的中点，点P在直线BC上，连结EQ交PC于点H．猜想线段EH与AC的数量关系，并证明你的猜想．

Answer

结论：EH=AC．

证明：取BC边中点F，连接DE、DF．

∵D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点．

∴DE∥BC且DE=BC，

 DF∥AC且DF=AC，

 EC=AC ∴四边形DFCE是平行四边形．

∴∠EDF=∠C． 

∵∠C=∠PDQ，∴∠PDQ =∠EDF ， ∴∠PDF=∠QDE．

又∵AC=kBC，∴DF=kDE．

∵DP=kDQ ，∴．

∴△PDF∽△QDE．

∴∠DEQ=∠DFP．

又∵DE∥BC，DF∥AC， ∴∠DEQ=∠EHC，∠DFP=∠C．

∴∠C =∠EHC．

∴EH=EC．

∴EH=AC．

选图16．结论：EH=AC．

证明：取BC边中点F，连接DE、DF．

∵D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，

∴DE∥BC且DE=BC， DF∥AC且DF=AC，

EC=AC ，∴四边形DFCE是平行四边形．

∴∠EDF=∠C．

∵∠C=∠PDQ，∴∠PDQ=∠EDF ， ∴∠PDF=∠QDE．

又∵AC=BC， ∴DE=DF，∵PD=QD，∴△PDF≌△QDE．

∴∠DEQ=∠DFP．

∵DE∥BC，DF∥AC， ∴∠DEQ=∠EHC，∠DFP=∠C．

∴∠C =∠EHC

∴EH=EC．

∴EH=AC．

选图17． 结论： EH=AC．

证明：连接AH．

∵D是AB中点，∴DA=DB．

又∵DB=DQ，∴DQ=DP=AD．∴∠DBQ=∠DQB，．

∵∠DBQ+∠DQB+∠DQA+∠DAQ，=180°，∴∠AQB=90°，

∴AH⊥BC．

又∵E是AC中点，∴HE=AC．

【解析】1）取BC中点F，连接DE，DF．利用三角形中位线性质可知四边形DFCE是平行四边形，由已知中角的相等，利用等量相加和相等，可得∠PDF=∠QDE，DF∥AC，可得，，即DF=kDE（DE=BF=BC），可证出△PDF∽△QDE．就有∠DFB=∠DEQ，又DE，BC平行可得∠DEQ=∠EHC，那么等量代换就有∠EHC=∠DFB=∠C，因此得证．

（2）和（1）的证法相同．

（3）连接AH，利用已知条件可证出∠ABC=∠BAC，且∠DBQ=∠DQB，那么DB=DQ．能判定△ABQ是直角三角形，同样，△AQC也是直角三角形，HE是斜边上的高，所以就有EH=AC．