Question

如图，抛物线F：的顶点为P，抛物线：与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．

⑴当a = 1，b=－2，c = 3时，求点C的坐标(直接写出答案)；

⑵若a、b、c满足了

①求b：b′的值；

②探究四边形OABC的形状，并说明理由．

Answer

【解析】
（1） C（3，0）；

（2）①抛物线，令=0，则=，

∴A点坐标（0，c）．

∵，∴ ，

∴点P的坐标为（）．

∵PD⊥轴于D，∴点D的坐标为（）．

根据题意，得a=a′，c= c′，∴抛物线F′的解析式为．

又∵抛物线F′经过点D（），∴．

∴．

又∵，∴．

∴b:b′=．

②由①得，抛物线F′为．

令y=0，则．

∴．

∵点D的横坐标为∴点C的坐标为（）．

设直线OP的解析式为．

∵点P的坐标为（），

∴，∴，∴．

∵点B是抛物线F与直线OP的交点，∴．

∴．

∵点P的横坐标为，∴点B的横坐标为．

把代入，得．

∴点B的坐标为．

∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC =OA），

∴四边形OABC是平行四边形．

又∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形．

【解析】（1）先求出抛物线解析式，再根据平移的特征即可得到点C的坐标；

（2）①根据抛物线顶点坐标的表达式及抛物线与坐标轴的交点坐标的特征即可得到结果；

②根据抛物线与坐标轴的交点坐标及抛物线与直线OP的交点坐标的特征即可得到结果；