Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE。

（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC=30°，DE=1 cm，求BD的长。

Answer

【解析】
（1）(6分)证明：连接AO． ∵AO=DO，  ∴∠OAD=∠ODA．

∵DA平分∠BDE，∴∠ADE=∠ODA．∴∠ADE=∠OAD．

∵AE⊥CD，∴∠ADE+∠DAE=90°．

∴∠OAD+∠DAE=90°．即OA⊥AE．（由AO∥ED 证得OA⊥AE也可．）

∴AE是⊙O的切线．

（2）(8分)∵BD是⊙O的直径，∴∠C=90°

∵∠DBC=30°∴∠BDC=60°∴∠ADE=∠ODA=60°

∴在Rt△AED中，∠EAD=30   ∵ED=1    ∴AD=2ED=2 

 ∵在Rt△ABD中,  ∠ABD=30,   AD=2

∴BD=2AD=4（cm）   ∴BD的长为4cm。

【解析】（1）连接OA，推出∠OAD=∠ODA=∠EDA，推出OA∥CD，推出OA⊥AE，即可得出答案；

（2）求出∠BDC=∠EDA=∠ADB=60°，求出∠EAD=∠ABD=30°，求出AD，即可求出BD。