Question

通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边/腰=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：

（1）sad60°=　     　．

（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是　        　．

（3）如图②，已知sinA=，其中∠A为锐角，试求sadA的值．

Answer

【解析】
（1）根据正对定义，

当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，

则三角形为等边三角形，

则sad60°==1．                 

（2）当∠A接近0°时，sadα接近0，

当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．

于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．          

（3）  如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A=．

在AB上取点D，使AD=AC，作DH⊥AC，H为垂足，

令BC=3k，AB=5k，则AD=AC==4k，            

又在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A=．

∴DH=ADsin∠A=k，AH==k．

则在△CDH中，CH=AC﹣AH=k，

CD==k．     

于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD=k．

由正对的定义可得：sadA==，即sadα=． 

【解析】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；

（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；

（3）作出直角△ABC，构造等腰三角形ACD，根据正对的定义解答．