Question

（1）操作发现：

如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．

（2）类比探究：

如图，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

Answer

（1）猜想线段GF=GC，                    

证明：∵E是BC的中点，

∴BE=CE，

∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，

∴BE=EF，

∴EF=EC，

∵EG=EG，∠C=∠EFG=90°，

∴△ECG≌△EFG，            

∴FG=CG；                   

（2）（1）中的结论仍然成立．   

证明：∵E是BC的中点，

∴BE=CE，

∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，

∴BE=EF，∠B=∠AEF，

∴EF=EC，

∴∠EFC=∠ECF，

∵矩形ABCD改为平行四边形，

∴∠B=∠D，

∵∠ECD=180°﹣∠D，∠EFG=180°﹣∠AEF=180°﹣∠B=180°﹣∠D，

∴∠ECD=∠EFG，

∴∠GFC=∠GFE﹣∠EFC=∠ECG﹣∠ECF=∠GCF，      

∴FG=CG；

【解析】（1）根据翻折的性质得出BE=EF，∠B=∠EFA，利用三角形全等的判定得△ECG≌△EFG，即可得出答案；

（2）利用平行四边形的性质，首先得出∠C=180°-∠D，∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D，进而得出∠ECG=∠EFG，再利用EF=EC，得出∠EFC=∠ECF，即可得出答案．