Question

如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC（AB＞AE）．

（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；

（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer

如图，是相似．                       

【证明】延长FE，与CD的延长线交于点G．

在Rt△AEF与Rt△DEG中，

∵ E是AD的中点，

∴ AE＝ED．

∵ ∠AEF＝∠DEG，

∴ △AFE≌△DGE．                         

∴ ∠AFE＝∠DGE．

∴ E为FG的中点．

又 CE⊥FG，

∴ FC＝GC．

∴ ∠CFE＝∠G．

∴ ∠AFE＝∠EFC．

又 △AEF与△EFC均为直角三角形，

∴ △AEF∽△EFC．                          

① 存在．                                    

如果∠BCF＝∠AEF，即k＝＝时，△AEF∽△BCF．

证明：当＝时，＝，

∴ ∠ECG＝30°．

∴ ∠ECG＝∠ECF＝∠AEF＝30°．

∴ ∠BCF＝90°－60°＝30°．

又 △AEF和△BCF均为直角三角形，

∴ △AEF∽△BCF．           

② 因为EF不平行于BC，

∴ ∠BCF≠∠AFE．

∴ 不存在第二种相似情况．          

【解析】（1）要求两三角形相似，已知条件有一组直角，我们只需再证得一组对应角相等即可得出两三角形相似，根据FE⊥EC，因此∠AEF和∠DCE都是∠DEC的余角，因此∠AEF=∠DCE，我们只要再得出∠DCE=∠FCE即可，可通过构建全等三角形来求解，延长FE交CD于G，我们不难得出△AEF和△GED全等，那么EF=EG，再根据一组直角和一条公共边我们可得出△FEC和△GEC全等，即可得出∠FCE=∠GCE也就得出了∠AEF=∠ECF，于是就凑齐了两三角形相似的条件；

（2）要想使两三角形相似，已知的条件有一组直角，那么分两种情况进行讨论：

当∠AFE=∠FCB时，那么∠AFE就和∠BFC互余，因此∠EFC就是直角，而∠FEC也是直角因此这种情况是不成立的；

当∠AEF=∠FCB时，AE：BC=AF：BF，那么由于E是AD中点，因此BC=2AE，所以我们可得出BF=2AF，即AB=3AF，又根据（1）中AF=GD，AB=CD，我们可在△CEG中根据△EGD和△EDC相似，得出关于GD、ED、DC的比例关系，也就是AF、AB、AE的比例关系，有了AB=3AF，就能求出ED与AF的比例关系，也就求出了BC与AF的比例关系，以AF为中间值即可得出AB与BC的比例关系，也就求出了k的值