Question

如图，ABCD为平行四边形，AD＝2，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点.

（1）求证：EF＝DF；

（2）若AC=2CF,∠ADC=60 ^o, AC⊥DC，求DE的长.

Answer

（1）证明：过点E作EG∥CD交AF的延长线于点G

    则∠GEF＝∠CDF，∠G＝∠DCF                                   

    在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD

∴EG∥AB

∵BE∥AC

    ∴四边形ABEG是平行四边形

∴EG＝AB＝CD                

∴△EGF≌△DCF

∴EF＝DF                       

（2）∵∠ADC=60 o, AC⊥DC

∴∠CAD＝30 o

     ∵AD＝2

∴CD＝1                               

∴AC＝                              

     又AC=2CF，

     ∴CF＝                                                  

     在Rt△DGF中

DF＝＝

    ∴DE＝2DF＝  

【解析】（1）先过点E作EG∥CD交AF的延长线于点G，由EG∥CD，AB∥CD，可得，AB∥GE，再由BE∥AG，那么四边形ABEG是平行四边形，就可得，AB=GE=CD，而GE∥CD，会出现两对内错角相等，故△EGF≌△DCF，即EF=DF．

（2）有AC⊥DC，∠ADC=60°，可得CD=AD=1，利用勾股定理，可求AC=，而CF=AC，那么再利用勾股定理，又可求DF，而由（1）知，DE=2DF，故可求．