Question

已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°.

（1）如图1，若AC⊥BD，且AC＝5，BD＝3，则S_梯形ABCD＝                 ；

（2）如图2，若DE⊥BC于E，BD＝BC，F是CD的中点，试问：∠BAF与∠BCD的大小关系如何？请写出你的结论并加以证明；

（3）在（2）的条件下，若AD＝EC，＝      .

Answer

（1）；                                             

（2）∠BAF=∠BCD.证明如下：

    连结EF、BF                                           

∵DF=CF，∠DEC=90°

∴EF=CF=CD

∴∠FEC=∠C                                                  

又∠C＋∠ADF=180°

∠FEC＋∠BEF=180°

∴∠ADF=∠BEF

∵∠BAD=∠ABE=∠BED=90°

∴四边形ABED是矩形

∴AD=BE

∴△ADF≌△FEB            

∴FA=FB

∴∠FAB=∠ABF                

又BD=BC，DF=CF

∴BF⊥CD

∴∠BFD=∠BAD=90°

∴∠ABF＋∠ADF=180°

∴∠ABF=∠C

∴∠BAF=∠BCD                                                  

   （3）3.   

【解析】（1）通过平移一腰可知道，梯形的面积可转化为直角三角形的面积，即

连接EF、BF，先证明四边形ABED是矩形，AD=BE，得到△ADF≌△FEB，FA=FB，∠FAB=∠ABF，利用BF⊥CD可证∠ABF=∠C即∠BAF=∠BCD；

（3）利用三角形相似的性质，面积比等于相似比的平方可求解