Question

如图，已知反比例函数y＝过点P， P点的坐标为（3－m，2m），m是分式方程的解，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B.

（1）试判断四边形PAOB的形状，并说明理由．

（2）连结AB，E为AB上的一点，EF⊥BP于点F，G为AE的中点，连结OG、FG，试问FG和OG有何数量关系？请写出你的结论并证明.

（3）若M为反比例函数y＝在第三象限内的一动点，过M作MN⊥x轴于交AB的延长线于点N，是否存在一点M使得四边形OMNB为等腰梯形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

【解析】
（1）四边形PAOB是正方形.理由如下

   ∵∠AOB=∠OBP=∠OAP=90°

   ∴四边形PAOB是矩形                                        

   m－3＋m－2=－3

     解得：m=1

   经检验知m=1是原分式方程的解

   ∴P（2，2）                               

   ∴PB=PA=2

   ∴四边形PAOB是正方形. 

（2）OG=FG.证明如下：

   延长FE交OA于点H，连结GH

∵∠HFB =∠FBO=∠BOH=90°

∴BOHF是矩形

∴BF=OH

∵∠FBE=∠FEB=45°

∴EF= BF=OH                 

  ∵∠EHA=90°，G为AE的中点

∴GH=GE=GA                                   

∴∠GEH=∠GAH=45°

  ∴∠GEF=∠GHO                       

  ∴△GEF≌△GHO

  ∴OG=FG                                        

（3）由题意知：∠BNM=45°             

∵要让四边形OBNM为等腰梯形

∴∠BNM=∠NMO=45°                                                

∴设M点的坐标为（x,x），代入

∴x=±2

∵M是第三象限上一动点

∴x=-2

∴M点的坐标为（-2,-2）                                 

【解析】（1）解出分式方程得到m的值，进而可判断出四边形PAOB的形状；

（2）应猜想相等，找这两条线段所在三角形全等的条件；

（3）易知∠BNM=45°，要想为等腰梯形，∠OMN=45°，那么点M的横纵坐标相等．代入反比例函数即可．