Question

若正整数a、b、c满足方程a²+b²=c² ,则称这一组正整数（a、b、c）为“商高数”，下面列举五组“商高数”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），注意这五组“商高数”的结构有如下规律：

根据以上规律，回答以下问题：

（1）   商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？

（2）   写出各数都大于30的两组商高数。

（3）   用两个正整数m、n（m＞n）表示一组商高数，并证明你的结论。

Answer

（1）有一个偶数、两个奇数或三个偶数。

（2）（40，42，58，），（119，120，169）

（3）a = 2mn,  b = m2 – n2,   c = m2 + n2

证明：a2 +b2 = (2 m n)2+ ( m2 – n2)2

                   = 4m2n2 +m4 -2m2n24

= m4 +2m2n2+n4 = (m2+n2 )2

∴ a2+b2 = c2

【解析】（1）根据奇数和偶数的定义解答；

（2）根据a=2mn，b=m2-n2，c=m2+n2找出符合条件的两组数据；

（3）根据勾股定理证明这一组数据是商高数．