Question

已知：在四边形ABCD中，AC = BD，AC与BD交于点O，∠DOC = 60°.

（1）当四边形ABCD是平行四边形时（如图1），证明AB + CD = AC；

（2）当四边形ABCD是梯形时（如图2），AB∥CD，线段AB、CD和线段AC之间的数量关系是____；

（3）如图3，四边形ABCD中，AB与CD不平行，结论AB + CD = AC是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由.

Answer

（1）略；  （2）AB + CD = AC；

（3）不成立，应为AB + CD＞AC。

提示：过B作BM∥AC，过C作CM∥AB。

【解析】（1）当四边形ABCD为平行四边形时，由于AC=BD，所以平行四边形ABCD实际为矩形，若∠DOC=60°时，三角形ABO和三角形DOC均为等边三角形，所以会有AB+CD=AC；

（2）当四边形ABCD为等腰梯形时，三角形ABO和三角形CDO也是等边三角形，所以会有AB+CD=AC；

（3）不成立，过B作BM∥AC，过C作CM∥AB，连接DM．构建平行四边形后AB=CM，BM=AC=BD，由于∠DOC=60°，可知∠DBM=60°，即三角形BDM为等边三角形，所以BD=BM=DM=AC，在三角形DCM中，CM+CD＞AC，即AB+CD＞AC．