Question

如图, 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；

（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为以AC为腰的等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．

Answer

（1）（2）（1，0）（3）P1（，－）P2（-，）P3(1, -2)  P4(,-).

【解析】（1）∵二次函数的图像经过点A（2，0）C(0,－1)

∴ 解得： b=－  c=－1   (2分)

∴二次函数的解析式为 (1分)

（2）设点D的坐标为（m，0）， （0＜m＜2）

∴ OD=m   ∴AD=2-m   由△ADE∽△AOC得， 

∴  ∴DE=        (1分)

∴△CDE的面积=××m==  (2分)

当m=1时，△CDE的面积最大，此时点D的坐标为（1，0）       (1分)

（3）存在.

  由(1)知：二次函数的解析式为

设y=0则 解得：x1=2  x2=－1，∴点B的坐标为（－1，0）  C（0，－1）

设直线BC的解析式为：y=kx＋b

∴   解得：k=-1  b=-1，∴直线BC的解析式为: y=－x－1

在Rt△AOC中，∠AOC=900  OA=2  OC=1，由勾股定理得：AC=

∵点B(－1,0)  点C（0，－1），∴OB=OC  ∠BCO=450.    (1分)

①当以点C为顶点且PC=AC=时，

设P(k, －k－1),过点P作PH⊥y轴于H，

∴∠HCP=∠BCO=450，CH=PH=∣k∣，在Rt△PCH中

k2+k2=  解得k1=， k2=－

∴P1（，－） P2（－，）(3分)

②以A为顶点，即AC=AP=

设P(k, －k－1),过点P作PG⊥x轴于G，

AG=∣2－k∣  GP=∣－k－1∣

在Rt△APG中  AG2＋PG2=AP2，（2－k)2+(－k－1)2=5  解得：k1=1,k2=0(舍)  ∴P3(1, －2)    (3分)

（3）AP=CP，此时AP²=CP²

2X²-2X+5=2X²

-2X=-5，X=2.5

代入BC方程，Y=-3.5

因此P4（2.5，-3.5）

综上所述，存在四点：P1（，－）P2（-，）P3(1, -2)  P4(,-).

（1）用待定系数法求得二次函数的解析式

（2）设点D的坐标为（m，0）， （0＜m＜2），由△ADE∽△AOC得，

从而求得DE的长，通过△CDE的面积公式求得当m=1时，△CDE的面积最大，即可求出点D的坐标

（3）求出直线BC的解析式，若三角形为等腰三角形，则有三种可能，利用勾股定理从而求得P点的坐标