Question

如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，.

（1）求证：直线PB是⊙O的切线；

（2）求cos∠BCA的值．

Answer

【解析】
（1）证明：连接OB、OP 

∵  且∠D=∠D

∴  △BDC∽△PDO

 ∴  ∠DBC=∠DPO  ∴  BC∥OP

∴  ∠BCO=∠POA   ∠CBO=∠BOP

∵  OB=OC   ∴  ∠OCB=∠CBO   ∴  ∠BOP=∠POA

又∵  OB=OA  OP=OP     ∴  △BOP≌△AOP   ∴  ∠PBO=∠PAO

又∵  PA⊥AC    ∴  ∠PBO=90°  ∴  直线PB是⊙O的切线

 （2）由（1）知∠BCO=∠POA    设PB，则

       又∵     ∴  

       又∵  BC∥OP   ∴    ∴ 

       ∴  ∴   ∴  cos∠BCA=cos∠POA= 

【解析】（1）连接OB、OP，由且∠D=∠D，根据三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易证得△BOP≌△AOP，则∠PBO=∠PAO=90°；

（2）设PB=a，则BD=2a，根据切线长定理得到PA=PB=a，根据勾股定理得到，又BC∥OP，得到DC=2CO，得到，则，利用勾股定理求出OP，然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值．