Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．

（1）点A的坐标是：_________，点C的坐标是：__________；

（2）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；

（3）探求（2）中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．

Answer

【解析】
（1）（4，0）、（0，3）

 （2）当0＜t≤4时，OM=t．

 由△OMN∽△OAC，得，

∴ ON＝，S=×OM×ON=．

当4＜t＜8时，如图，

∵ OD=t，∴ AD= t-4．

    由△DAM∽△AOC，可得AM=．

而△OND的高是3．

S=△OND的面积-△OMD的面积

=×t×3-×t×

=．

(3) 有最大值．

方法一：当0＜t≤4时，

∵ 抛物线S=的开口向上，在对称轴t=0的右边， S随t的增大而增大，

∴ 当t=4时，S可取到最大值=6；

当4＜t＜8时，

∵ 抛物线S=的开口向下，它的顶点是（4，6），

∴ S＜6．

综上，当t=4时，S有最大值6．

方法二：∵ S= 

∴ 当0＜t＜8时，画出S与t的函数关系图像，如图所示．

    显然，当t=4时，S有最大值6.

【解析】（1）根据B点的坐标即可求出A、C的坐标；

（2）本问要分类进行讨论：

①当直线m在AC下方或与AC重合时，即当0＜t≤4时，根据平行得到两对同位角的相等可证△OMN∽△OAC，用两三角形的相似比求出面积比，即可得出S与t的函数关系式；

②当直线m在AC上方时，即当4＜t＜8时，由平行得到一对同位角相等，再由一对直角的相等得到△DAM∽△AOC，根据相似得比例，由OD，AD表示出AM的长，进而得到BM的长，再由MN∥AC，得到两对同位角的相等，从而得到△BMN∽△BAC，由相似得比例BN的长，从而得到CN的长，然后分别表示出各个三角形的面积，可用矩形OABC的面积-三角形BMN的面积-三角形OCN的面积-三角形OAM的面积来求得

（3）根据（2）得出的函数的性质和自变量的取值范围即可求出面积S的最大值及对应的t的值．