Question

如图，在四边形ABCD中，AC垂直并且平分BD于点O．（6分）

（1）图中有多少对全等三角形?请把它们都写出来

 （2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明．

Answer

（1）△AOB≌△AOD   △BOC≌△DOC  △ABC≌△ADC（2）证明见解析

【解析】（1）△AOB≌△AOD   △BOC≌△DOC  △ABC≌△ADC……3分

   （2）①△AOB≌△AOD

证明：∵AC垂直并且平分BD

        ∴∠AOB=∠AOD=90°   OB=OD……2分

     又∵OA=OA（公共边）…………3分

            ∴△AOB≌△AOD （SAS）

        ②△BOC≌△DOC

      证明：∵AC垂直并且平分BD

             ∴∠BOC=∠DOC=90°   OB=OD

           又∵OC=OC

             ∴△BOC≌△DOC （SAS）

        ③△ABC≌△ADC

      证明：∵AC垂直并且平分BD

        ∴∠AOB=∠AOD=90°   OB=OD

     又∵OA=OA（公共边）

            ∴△AOB≌△AOD （SAS）

            ∴AB= AD

            ∵AC垂直并且平分BD

             ∴∠BOC=∠DOC=90°   OB=OD……2分

           又∵OC=OC

             ∴△BOC≌△DOC （SAS）

             ∴ BC=DC

             又∵AC=AC

               △ABC≌△ADC

（1）根据全等三角形的判定方法我们可以得到图中共有三对全等三角形分别为：△AOB≌△AOD，△COB≌△COD，△ABC≌△ADC．（2）根据全等三角形的判定进行证明