Question

如图，已知等边△ABC中，D、E两点在直线BC上，且∠DAE＝120°.

⑴判断△ABD是否与△ECA相似，并说明你的理由；

⑵当CE·BD＝16时，求△ABC的周长.

 

Answer

【解析】
⑴证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°.

 ∵∠DAE＝120°，∴∠DAB＋∠CAE＝60°.

∵∠DAB＋∠D＝∠ABC＝60°，∴∠D＝∠CAE.

∵∠DBA＝∠ACE＝120°，∴△ABD∽△ACE；

 ⑵【解析】
∵△ABD∽△ACE，∴，即AB·AC＝BD·CE.

∵BD·CE＝16，∴AB·AC＝16.

∵AB＝AC，∴，∴AB＝4，

∴△ABC的周长为12.

【解析】（1）由△ABC是等边三角形得到∠BAC＝60°，则∠DAB＋∠CAE＝60°，再由∠DAB＋∠D＝∠ABC＝60°，得∠D＝∠CAE，再有∠DBA＝∠ACE＝120°，即得△ABD∽△ACE；

（2）根据相似三角形的对应边成比例即可求得结果。