Question

如图，在梯形ABCD中， AB∥DC，∠BCD＝90°，且AB＝1，BC＝2，

tan∠ADC＝2．

⑴求证：DC＝BC；

⑵E是梯形内的一点，F是梯形外的一点，且∠EDC＝∠FBC，DE＝BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；⑶在⑵的条件下，当BE：CE＝1：2，∠BEC＝135°时，求sin∠BFE的值．

Answer

(1)过A作DC的垂线AM交DC于M，  

则

AM＝BC＝2．（1分）     又tan∠ADC＝2，所以．（2分）

因为MC＝AB＝1，所以DC＝DM+MC＝2，即DC＝BC．（3分）

(2)等腰直角三角形．（4分）

证明：因为DE＝DF，∠EDC＝∠FBC，DC＝BC．    所以，△DEC≌△BFC（5分）

所以，CE＝CF，∠ECD＝∠BCF．   

所以，∠ECF＝∠BCF+∠BCE＝∠ECD+∠BCE＝∠BCD＝90°

即△ECF是等腰直角三角形．（6分）

(3)设BE＝k，则CE＝CF＝2k，所以.（7分）

因为∠BEC＝135°，又∠CEF＝45°，所以∠BEF＝90°．（8分）    

 所以（9分）

所以．（10分）

【解析】（1）过A点作AG⊥DC，垂足为G，只需求DG+CG，在直角三角形AGD中，可求DG=5，所以DC=BC；

（2）由已知可证△DEC≌△BFC，得EC=CF，∠ECD=∠FCB，由∠BCE+∠ECD=90°得∠ECF=90°，即△ECF是等腰直角三角形；

（3）设BE＝k，CE= 2k，由已知，求出∠BEF=90°， 根据勾股定理求出BF=3k，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．