Question

如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=，∠ABO=30°．动点P在线段AB上从点A向终点B以每秒个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在直线OB 上取两点M、N作等边△PMN．

（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值．

（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示）；

（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB 内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

（4）在（3）中，设PN与EC的交点为R，是否存在点R，使△ODR是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（1）当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时，

MP⊥AB，∵∠A=60°，∴AP=4，∴。（2分）

（2）∵AP=，∴BP=

又∵∠B=30°，∠PMB=600°，∴∠BPM=90°

tan∠B=

∴，即等边△PMN的边长为.（4分）

（3）①当时，如图AP=，∴

∴，∴，

∴.

过F作FQ⊥0B于Q，则QN=4，∴EF=OQ=.

等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为四边形EFNO的面积，设为S1，

∴

∵＞0，∴S1随t的增大而增大，

∴t=1时，，∴S1的最大值为.（7分）

②当＜t＜2时，如图

在△EGK中，GE=，∴EK=，

∴S△GEK=.

∴等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为四边形EFNO的面积与△EGK的面积差，设为S2，

∴.

∵，对称轴为，

∴时，的最大值为.（9分）

当时，。

综上可知：当时，S的最大值为.（10分）

（4）过R作RH⊥OB于H，RH=，HN=4，

OH=，OD=12，DH=，

①OR=OD=12时，，

∴，，∴＞2，不合题意舍去。

②DR=OD=12时，，

∴，∴＞2，或＜0，都不合题意舍去。

③OR=DR时，H为CD中点，OH=6，∴，∴。

综上所述，时，△ODR是等腰三角形。（12分）

【解析】（1）利用直角三角形中30°所对的边是斜边的一半即可求出AP，进而求出t的值；

（2）利用△BPH∽△BAO，得出PH的长，再利用解直角三角形求出PN的长；

（3）根据当0≤t≤1时以及当t=1时和当t=2时，分别求出S的值；

（4）根据当D为顶点，OD=OR1=6时，当R2为顶点，OR2=DR2时，③当O为等腰△的顶点时，分别得出即可