Question

如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分∠DAE

(1)若正方形ABCD的边长为4,BE=3,求EF的长？

(2)求证：AE=EC+CD．

Answer

（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=BC，∠D=∠C=90°．

∵BE=3，∴EC=1．∵F是CD的中点，∴DF=CF=2．

在Rt△EFC中，由勾股定理得

（2）证明：过F作FH⊥AE于H.

∵AF平分∠DAE，∠D=90°，FH⊥AE.

∴∠DAF=∠EAF，FH=FD，

在△AHF与△ADF中，

∵AF为公共边，∠DAF=∠EAF，FH=FD.

∴△AHF≌△ADF（HL）．

∴AH=AD，HF=DF．

 又∵DF=FC=FH，FE为公共边，

∴△FHE≌△FCE．

∴HE=CE．

∵AE=AH+HE，AH=AD=CD，HE=CE，

∴AE=EC+CD．

【解析】（1）由正方形的性质以及勾股定理求出EF；

（2）作FH⊥AE于G，由AF平分∠DAE证明△FHE≌△FCE，可以得出GE=CE，进而可以得出结论AE=EC+CD．

要证明两条线段的和等于第三条线段长常用的方法是“取长补短”.