Question

如图，在梯形纸片ABCD中，BC∥AD,∠A+∠D=90°,tanA=2，过点B作BH⊥AD与H,BC=BH=2.动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿运动到点停止，在运动过程中，过点作交折线于点，将纸片沿直线折叠，点、的对应点分别是点、。设点运动的时间是秒（）。

（1）当点和点重合时，求运动时间的值；

（2）在整个运动过程中，设或四边形与梯形重叠部分面积为，请直接写出与之间的函数关系式和相应自变量的取值范围；

（3）平移线段，交线段于点，交线段。在直线上存在点，使为等腰直角三角形。请求出线段的所有可能的长度。

Answer

【解析】
（1）t＋1， 

△PMN的边长MN＝CN－CM＝CD＋DN－CM＝1＋2t－t＝t＋1.

当点P落在AB上时，过P作PE⊥MN于E.则CE＝CM＋ME＝t＋＝

∴BE＝6－＝.∵等边△PMN，MN＝t＋1,

∴PE＝PN·sin60°＝MN·sin60°＝( t＋1).

在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝6.∴AC＝BC·tan30°＝.

∵∠PEB＝∠ACB＝90°，∠PBE＝∠ABC.∴△PBE∽△ABC，∴＝.

即＝，解得t＝

（2）当0＜t≤时，△PMN在△ABC内部.

∴S＝×( t＋1)×( t＋1)＝( t＋1)2

点N从点D运动到与点B重合所需时间为：＝（秒）

当＜t＜时，△PMN与△ABC重叠部分为四边形EFNM.

∵∠PNM＝60°，∠ABC＝30°,∴∠NFB＝∠ABC＝30°.∴NF＝NB＝6－( 2t＋1)＝5－ 2t

∴PF＝( t＋1)－( 5－ 2t)＝3t－4,∵∠NFB＝30°，∴∠PFE＝30°.

∵∠P＝60°，∴∠PEF＝90°,∴PE＝PF＝( 3t－4)，EF＝PF＝( 3t－4).

∴S△PEF ＝EF·PE＝( 3t－4)2

∴S＝S△PMN －S△PEF ＝( t＋1)2－( 3t－4)2

＝－t 2＋t－.

当≤t＜6时，△PMN与△ABC重叠部分为△GMB.在Rt△GMB中，∠GBM＝30°，MB＝6－t.

∴GM＝MB＝( 6－t)，GB＝MB＝( 6－t)

∴S＝GM·GB＝( 6－t) 2当t≥6时，S＝0.

（3）

【解析】（1）综合运用梯形、直角三角形、轴对称的性质、三角形相似等知识，建立线段之间的等量关系；

（2）运用分类讨论的思想，找到重叠部分面积与之间的函数关系；

（3）分类讨论等腰三角形PGI的直角顶点.