Question

在ΔABC中,D为BC的中点,E为AC上的任意一点,BE交AD于点O．某学生在研究这一问题时,发现了如下事实: 如图1,当时,有；

如图2,当时,有；

如图3,当时,有；在图4中,当时,

参照上述研究的结论,请你猜想用n表示AO∶AD的一般结论,并给出证明．

Answer

结论: AE∶AC=1∶(1+n)时,

AO∶AD=2∶(2+n)．

证明:如图4,作DF∥BE,交AC于F．

∵BD=DC,∴EF=FC．

∵AE∶AC=1∶(1+n),∴AE∶EC=1∶n=2∶2n．

∴AE∶EF=2∶n．

∴AO∶AD=AE∶EF=2∶(2+n)．

【解析】过D作DF∥BE，即求AE：AD，因为 AE∶AC=1∶(1+n)，可以根据平行线分线段成比例，及线段相互间的关系即可得出．