Question

如图，抛物线y=x²+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．

⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；

⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．

Answer

（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x2 + bx-2上，∴× (-1 )2 + b× (-1)–2 = 0，解得b =

∴抛物线的解析式为y=x2-x-2. y=x2-x-2 = ( x2 -3x- 4 ) =(x-)2-,

∴顶点D的坐标为 (, -).

（2）当x = 0时y = -2,       ∴C（0，-2），OC = 2。

当y = 0时，  x2-x-2 = 0，      ∴x1 = -1, x2 = 4,     ∴B (4,0)

∴OA = 1,    OB = 4,    AB = 5.

∵AB2 = 25,    AC2 = OA2 + OC2 = 5,    BC2 = OC2 + OB2 = 20,

∴AC2 +BC2 = AB2.                ∴△ABC是直角三角形.

（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小。

解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.

∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM

∴△C′OM∽△DEM.

∴

∴，∴m =．

解法二：设直线C′D的解析式为y = kx + n ,

则，解得n = 2,  .

∴ .

∴当y = 0时， ，

 .     ∴.

【解析】（1）根据抛物线过A（-1，0）点，直接求出b的值，再根据配方法求出二次函数顶点坐标即可；

（2）分别求出三角形三边，即可得出三角形的形状；

（3）首先可求得二次函数的顶点坐标，再求得C关于x轴的对称点C′，求得直线C′D的解析式，与x轴的交点的横坐标即是m的值．