Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．（0°＜α＜90°）得到△，连接．设交AB于D，分别交AB、AC于E、F．

（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以说明（△ABC与△全等除外）；

（2）当△是等腰三角形时，求α；

Answer

【解析】
（1）全等的三角形有：△CBD≌△CA1F或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF等；

以说明△CBD≌△CA1F为例：

理由：∵∠ACB1+∠A1CF=∠ACB1+∠BCD=90°

∴∠A1CF=∠BCD   ∵A1C=BC    ∴∠A1=∠CBD=45°   ∴△CBD≌△CA1F；

（2）在△CBB1中    ∵CB=CB1     ∴∠CBB1=∠CB1B=1/2（180°-α）

又△ABC是等腰直角三角形   ∴∠ABC=45°

①若B1B=B1D，则∠B1DB=∠B1BD

∵∠B1DB=45°+α

∠B1BD=∠CBB1-45°=1/2（180°-α）-45°=45°-1/2α    

∴45°+α=45°-α

∴α=0°（舍去）；

②∵∠BB1C=∠B1BC＞∠B1BD，∴BD＞B1D，即BD≠B1D；

③若BB1=BD，则∠BDB1=∠BB1D，即45°+α=1/2（180°-α），α=30°

由①②③可知，当△BB1D为等腰三角形时，α=30°；

【解析】（1）依据全等三角形的判定，可找出全等的三角形有：△CBD≌△CA1F或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF等．由旋转的意义可证∠A1CF=∠BCD，A1C=BC，∠A1=∠CBD=45°，所以△CBD≌△CA1F．（2）当△BBD是等腰三角形时，要分别讨论B1B=B1D、BB1=BD、B1D=DB三种情况，第一，三种情况不成立，只有第二种情况成立，求得α=30°．