Question

如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，BE⊥CD于E，连接AC、BC.

（1）求证：BC平分∠ABE；

（2）若⊙O的半径为2，∠A =60°，求CE的长．

Answer

（1）证明：连接OC

∵ CD切⊙O于点C，OC是半径

∴ OC⊥CD于C

∴ ∠OCD=90°

∵ BE⊥CD于E

∴ ∠BED=90°

∴ ∠OCD=∠BED

∴ OC∥BE

∴ ∠OCB=∠CBE

∵ OC=OB

∴ ∠OCB=∠OBC

∴ ∠CBE=∠OBC

∴ BC平分∠ABE；

（2）【解析】
∵AB是⊙O的直径，

∴ ∠ACB=90°

∵⊙O的半径为2，

∴AB = 4

在Rt△ABC中，

∵∠A =60°∴∠OBC=30°∴AC = AB = 2

∴ BC = 

∵∠CBE=∠OBC

∴∠CBE=30°

∴在Rt△BCE中，CE = BC =  

【解析】（1）利用切线的性质首先得出∠OCB=∠CBE，进而得出∠CBE=∠OBC即可求出BC平分∠ABE；

（2）首先勾股定理得出BC=，进而求出∠CBE=∠ABC=90°-∠A=30°，即可求出CE的长。