Question

如图1，已知正方形ABCD，将一个45度角的顶点放在D点并绕D点旋转，角的两边分别交AB边和BC边于点E和F，连接EF。求证：EF＝AE+CF

（1） 小明是这样思考的:延长BC到G，使得CG＝AE，连接DG，先证△DAE≌△DCG，再证△DEF≌△DGF，请你借助图2，按照小明的思路，写出完整的证明思路。

（2）刘老师看到这条题目后，问了小明两个小问题：①如果正方形的边长和△BEF的面积都等于6，求EF的长；②将角绕D点继续旋转，使得角的两边分别和AB边延长线、BC边的延长线交于E和F，如图3所示，猜想EF、AE、CF三线段之间的数量关系并给予证明。请你帮忙解决。

Answer

证明见解析

【解析】（1）略（2）①设EF＝x   由（1）知四边形DEBG的面积＝正方形ABCD 的面积＝36，又△三角形BEF的面积是6，所以四边形DEFG的面积为30，因为△DAE≌△DCG，EF＝FG＝x  ，所以三角形DFG的面积为15，所以1/2×6x ＝15  解得x＝5，所以EF＝5

②如图3，延长CF到点G，使得CG＝AE,连接DG，易证△DAE≌△DCG 所以∠CDG＝∠ADE，∵∠ADE+∠CDE＝90度 ， ∴∠CDG+∠CDE＝90度，∵∠EDF＝45度，∴∠GDF＝45度，易证△DFE≌△DFG, ∴FE＝FG , ∴CG-CF＝FG＝EF ∴EF＝AE-CF

（1）延长BC到G，使得CG=AE，连接DG，根据正方形的性质推出AD=DC，∠A=∠DCG，证△DAE≌△DCG，推出DE=DG，∠EDF=∠FDG=45°，证△DEF≌△DGF推出EF=FG即可；

（2）①设EF=x，由（1）知得出四边形DEBG的面积=正方形ABCD的面积=36，求出△DFG的面积为15，根据三角形的面积公式求出即可；②延长CF到点G，使得CG=AE，连接DG，与（1）类似求出△DAE≌△DCG，再证△DFE≌△DFG，推出EF=FG即可．