Question

如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q．

（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；

（2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；

（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．

Answer

（1）证明见解析（2）AP=2（3）点运动到与点重合时；点与点重合时，点与点也重合;CP=

【解析】（1）证明：在正方形中，

无论点运动到上何处时，都有

＝  ∠＝∠  ＝                  

         ∴△≌△

(2)【解析】
△的面积恰好是正方形ABCD面积的时，

过点Q作⊥于,⊥于，则 ＝        

＝＝

     ∴＝ 

由△ ∽△得        解得

∴时，△的面积是正方形面积的  

（3）若△是等腰三角形，则有 ＝或＝或＝

①当点运动到与点重合时，由四边形是正方形知  ＝

       此时△是等腰三角形

      ②当点与点重合时，点与点也重合，

此时＝, △是等腰三角形              

③【解析】
如图，

设点在边上运动到时，有＝

∵ ∥       ∴∠＝∠     

又∵∠＝∠  ∠＝∠

∴∠＝∠

∴ ＝＝

∵＝    ＝  ＝4

∴

即当时，△是等腰三角形        

 (1)两边一角 AQ=AQ   AB=AD=4    角DAQ=角BAQ=45度 所以两个三角形全等。

(2)做QE垂直于AD ,△DQE相似于△DPA,△ADQ面积=ADQE/2  ,正方形面积=ADAB  ,△ ADQ的面积是正方形面积的1/6 ,则QE=AB/3=4/3 ,△AQE是等腰直角三角形, 则AQ=QE=4/3 ,DQ=AD-AQ=8/3,△DQE相似△DPA中, DQ/AD=QE/AP,带入数据 得8/3 /4= 4/3 /AP,故AP=2, 因为AB=4 则P点正好运动到AB的中点

(3)假设△ADQ恰好为等腰三角形,P在 ABC上运动 首先当AD=QD=4时 Q与C点刚好重合 所以P运动到C点 △ADQ为等腰三角形；当P运动到B点时，AQ=QD △ADQ为等腰直角三角形；当AD=AQ=4时,△ADQ与△CPQ相似,则PC=CQ=AC-AQ=,则P运动到距离C点时,△ADQ为等腰三角形