Question

感知：如图①，点E在正方形ABCD的BC边上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G．可知△ADG≌△BAF.（不要求证明）

拓展：如图②，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E, F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证：△ABE≌△CAF.

应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边B上．CD=2BD.点E,  F在线段AD上．∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为_________.

Answer

拓展：证明见解析；应用：6

【解析】拓展：证明：如图②

∵∠1=∠2，∴∠BEA=∠AFC。

∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，

∴∠BAC=∠ABE+∠3。∴∠4=∠ABE。

∵∠AEB=∠AFC，∠ABE=∠4，AB=AC，

∴△ABE≌△CAF（AAS）。

应用：6。

拓展：利用∠1=∠2=∠BAC，利用三角形外角性质得出∠4=∠ABE，从而利用AAS证明△ABE≌△CAF。

 应用：首先根据△ABD与△ADC等高，底边比值为：1：2，得出△ABD与△ADC面积比为：1：2，再证明△ABE≌△CAF，即可得出△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积得出答案即可：

如图③

∵在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD=2BD，

∴△ABD与△ADC等高，底边比值为：1：2。

∴△ABD与△ADC面积比为：1：2。

∵△ABC的面积为9，∴△ABD与△ADC面积分别为：3，6。

∵∠1=∠2，∴∠BEA=∠AFC。

∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，

∴∠BAC=∠ABE+∠3。∴∠4=∠ABE。

∵∠AEB=∠AFC，∠ABE=∠4，AB=AC。∴△ABE≌△CAF（AAS）。

∴△ABE与△CAF面积相等，∴△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积。

∴△ABE与△CDF的面积之和为6。