Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=－2x+42交x轴与点A,交直线y=x于点B,抛物线分别交线段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐标分别为16和4，点P在这条抛物线上．

（1）求点C、D的纵坐标．

（2）求a、c的值．

（3）若Q为线段OB上一点，且P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长．

（4）若Q为线段OB或线段AB上的一点，PQ⊥x轴，设P、Q两点之间的距离为d（d＞0），点Q的横坐标为m，直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围．

（参考公式：二次函数图像的顶点坐标为）

Answer

（1）C的纵坐标为10，D的纵坐标为4（2），10（3）或（4）0≤m＜4或12≤m＜16

【解析】【解析】
（1）∵点C在直线AB：y=－2x+42上，且C点的横坐标为16，

∴y=－2×16+42=10，即点C的纵坐标为10。

∵D点在直线OB：y=x上，且D点的横坐标为4，∴点D的纵坐标为4。

（2）由（1）知点C的坐标为（16，10），点D的坐标为（4，4），

∵抛物线经过C、D两点，

∴，解得：。∴抛物线的解析式为。

（3）∵P为线段OB上一点，纵坐标为5，∴P点的横坐标也为5。

∵点Q在抛物线上，纵坐标为5，∴，解得。

当点Q的坐标为（，5），点P的坐标为（5，5），线段PQ的长为；

当点Q的坐标为（ ，5），点P的坐标为（5，5），线段PQ的长为。

所以线段PQ的长为或。

（4）当0≤m＜4或12≤m＜16时，d随m的增大而减小。

（1）点C在直线AB：y=－2x+42上，将C点的横坐标，代入即可求出C点的纵坐标，同理可知：D点在直线OB：y=x上，将D点的横坐标，代入解析式即可求出D点的纵坐标。

（2）抛物线经过C、D两点，列出关于a和c二元二次方程组，解出a和c即可。

（3）根据Q为线段OB上一点，P、Q两点的纵坐标都为5，则可以求出Q点的坐标，又知P点在抛物线上，求出P点的坐标即可，P、Q两点的横坐标的差的绝对值即为线段PQ的长。

（4）根据PQ⊥x轴，可知P和Q两点的横坐标相同，求出抛物线的顶点坐标和B点的坐标，①当Q是线段OB上的一点时，结合图形写出m的范围，②当Q是线段AB上的一点时，结合图形写出m的范围即可：

根据题干条件：PQ⊥x轴，可知P、Q两点的横坐标相同，

∵抛物线y=，∴顶点坐标为（8，2）。

联立，解得点B的坐标为（14，14）。

①当点Q为线段OB上时，如图所示，

当0≤m＜4或

12≤m≤14时，d随m的增大而减小；

②当点Q为线段AB上时，如图所示，当14≤m＜16时，d随m的增大而减小。

综上所述，当0≤m＜4或12≤m＜16时，d随m的增大而减小。