Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到点B停止．点P在AD上以cm/s的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s).

（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．

（2）当点N落在AB边上时，求t的值．

（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式．

（4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．

Answer

（1）t－2（2）t=4或t=（3）（4）t=或t=5或

6≤t≤8。

【解析】【解析】
（1）t－2。

（2）当点N落在AB边上时，有两种情况：

①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。

②如图（2）b，此时点P位于线段EB上．

∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s，

∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。

∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。

由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=。

综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=。

（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况：

①当2＜t＜4时，如图（3）a所示。

DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t。

∵MN∥BC，∴△AFM∽△ABC。∴FM：BC = AM：AC=1：2，即FM：AM=BC：AC=1：2。

∴FM=AM=t．

 ∴

 。

②当＜t＜8时，如图（3）b所示。

PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，

∴FM=AM=6-t，PG=2PB=16-2t，

∴

 。

综上所述，S与t的关系式为：。

（4）在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围是：t=或t=5或

6≤t≤8。

（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，∴由勾股定理得AB=cm。

      ∵D为边AB的中点，∴AD=cm。

    又∵点P在AD上以cm/s的速度运动，∴点P在AD上运动的时间为2s。

   ∴当点P在线段DE上运动时，在线段DP上的运动的时间为t－2s。

  又∵点P在DE上以1cm/s的速度运动，∴线段DP的长为t－2 cm。

（2）当点N落在AB边上时，有两种情况，如图（2）所示，利用运动线段之间的数量关系求出时间t的值。

（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如图（3）所示，分别用时间t表示各相关运动线段的长度，然后利用求出面积S的表达式。

（4）本问涉及双点的运动，首先需要正确理解题意，然后弄清点H、点P的运动过程：

依题意，点H与点P的运动分为两个阶段，如下图所示：

①当4＜t＜6时，此时点P在线段DE上运动，如图（4）a所示。

此阶段点P运动时间为2s，因此点H运动距离为2.5×2=5cm，而MN=2，

则此阶段中，点H将有两次机会落在线段CD上：

第一次：此时点H由M→H运动时间为（t－4）s，运动距离MH=2.5（t－4），

∴NH=2－MH=12－2.5t。

又DP=t-2，DN=DP－2=t－4，

由DN=2NH得到：t－4=2（12－2.5t），解得t=。

第二次：此时点H由N→H运动时间为t－4－=（t－4.8）s，运动距离NH=2.5（t－4.8）=2.5t－12，

又DP=t-2，DN=DP－2=t－4，

由DN=2NH得到：t－4=2（2.5t－12），解得t=5。

②当6≤t≤8时，此时点P在线段EB上运动，如图（4）b所示。

由图可知，在此阶段，始终有MH=MC，即MN与CD的交点始终为线段MN的中点，即点H。

综上所述，在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围是：t=或t=5或6≤t≤8。