Question

如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．

(1)求证：△ADE∽△BCE；

(2)若AD²＝AC·AE，求证：BC＝CD．

Answer

证明见解析

【解析】证明：（1）∵∠A与∠B都是弧所对的圆周角， ∴∠A=∠B，

      又∵∠AED =∠BEC，∴△ADE∽△BCE。

（2）

∵AD2=AE•AC，∴。

又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD。∴∠AED=∠ADC。

又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°。∴∠AED=90°。

∴直径AC⊥BD，∴CD=CB。

（1）由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠B，又由对顶角相等，可证得：△ADE∽△BCE。

（2）由AD2=AE•AC，可得，又由∠A是公共角，可证得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直径，可求得AC⊥BD，由线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质可证得CD=CB。