Question

如图，AB是O的直径，AE交O于点E，且与O的切线CD互相垂直，垂足

为D。

（1）求证：∠EAC＝∠CAB；

（2）若CD＝4，AD＝8：

①求O的半径；

②求tan∠BAE的值。

Answer

（1）证明见解析（2）①5，②

【解析】（1）证明：连接OC。 

∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC。

又∵CD⊥AE，∴OC∥AE。∴∠1＝∠3。

∵OC＝OA，∴∠2＝∠3。

∴∠1＝∠2，即∠EAC＝∠CAB。

（2）【解析】
①连接BC。

∵AB是⊙O的直径，CD⊥AE于点D，

∴∠ACB＝∠ADC＝90°。

∵∠1＝∠2，∴△ACD∽△ABC。∴。

∵AC2＝AD2＋CD2＝42＋82＝80，

∴AB＝＝10。

∴⊙O的半径为10÷2＝5。

②连接CF与BF。

∵四边形ABCF是⊙O的内接四边形，

∴∠ABC＋∠AFC＝180°。

∵∠DFC＋∠AFC＝180°，∴∠DFC＝∠ABC。

∵∠2＋∠ABC＝90°， ∠DFC＋∠DCF＝90°，

∴∠2＝∠DCF。

∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠DCF。

∵∠CDF＝∠CDF，∴△DCF∽△DAC。∴ 。∴DF＝＝2。

∴AF＝AD－DF＝8－2＝6。

∵AB是⊙O的直径，∴∠BFA＝90°。

∴BF＝＝8。∴tan∠BAD＝。    

（1）连接OC，由CD是⊙O的切线，CD⊥OC，又由CD⊥AE，即可判定OC∥AE，根据平行线的性质与等腰三角形的性质，即可证得∠EAC=∠CAB。

（2）①连接BC，易证得△ACD∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AB的长，

从而可得⊙O的半径长。

 ②连接CF与BF．由四边形ABCF是⊙O的内接四边形，易证得△DCF∽△DAC，然后根据

相似三角形的对应边成比例，求得AF的长，又由AB是⊙O的直径，即可得∠BFA是直角，利用勾股定理求得BF的长，即可求得tan∠BAE的值。