Question

如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D垂直于AC的直线交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）如图AD=5，AE=4，求⊙O的直径．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】（1）证明：如图，连接OD，

∵AD为∠CAB的平分线，∴∠CAD=∠BAD。

又OA=OD，∴∠BAD=∠ODA。∴∠CAD=∠ODA。

∴AC∥OD。∴∠E+∠EDO=180°。

又AE⊥ED，即∠E=90°，∴∠EDO=90°。

∴OD为圆O的切线。

（2）【解析】
如图，连接BD，

∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°。

在Rt△AED中，AE=4，AD=5，∴。

又∵∠EAD=∠DAB，在Rt△ABD中，∴。

∴，即圆的直径为。

（1）连接OD，由AD为角平分线，得到一对角相等，再由OA=OD，得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，根据内错角相等两直线平行可得AC∥OD，由两直线平行同旁内角互补，得到∠E与∠EDO互补，再由∠E为直角，可得∠EDO为直角，即DE为圆O的切线。

（2）连接BD，由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角的性质，得到∠ADB=90°。在Rt△AED中，由AE和AD的长，根据锐角三角函数定义求出cos∠EAD。又在Rt△ABD中，根据锐角三角函数定义得到 ，即可求出直径AB的长。