Question

如图，等圆⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，⊙O₁经过⊙O₂的圆心，顺次连接

A、O₁、B、O₂．

(1)求证：四边形AO₁BO₂是菱形；

(2)过直径AC的端点C作⊙O₁的切线CE交AB的延长线于E，连接CO₂交AE于D，求证：CE＝2O₂D；

(3)在(2)的条件下，若△AO₂D的面积为1，求△BO₂D的面积．

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

【解析】【解析】
（1）证明：∵⊙O1与⊙O2是等圆，∴AO1=O1B=BO2=O2A。

∴四边形AO1BO2是菱形。

（2）证明：∵四边形AO1BO2是菱形，∴∠O1AB=∠O2AB。

∵CE是⊙O1的切线，AC是⊙O1的直径，∴∠ACE=∠AO2C=90°。

∴△ACE∽△AO2D。∴，即CE=2DO2。

（3）∵四边形AO1BO2是菱形，∴AC∥BO2。∴△ACD∽△BO2D。

∴。∴AD=2BD。

∵S，∴。

（1）根据⊙O1与⊙O2是等圆，可得AO1=O1B=BO2=O2A，利用四条边都相等的四边形是菱形可判定出结论。

（2）根据已知得出△ACE∽△AO2D，从而得出，即可得出结论。

（3）首先证明△ACD∽△BO2D，得出 ，AD=2BD，再利用等高不等底的三角形面积关系得出答案即可。