Question

如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；

（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明见解析（2）30°（3）

【解析】【解析】
（1）证明：连接OB，

∵OB=OA，CE=CB，

∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC。

又∵CD⊥OA，

∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°。

∴∠OBA+∠ABC=90°。∴OB⊥BC。

∴BC是⊙O的切线。

（2）连接OF，AF，BF，

∵DA=DO，CD⊥OA，

∴△OAF是等边三角形。

∴∠AOF=60°。

∴∠ABF=∠AOF=30°。

（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，

∴EG=BE=5。

易证Rt△ADE∽Rt△CGE，

∴sin∠ECG=sin∠A=，

∴。

∴。

又∵CD=15，CE=13，∴DE=2，

由Rt△ADE∽Rt△CGE得，即，解得。

∴⊙O的半径为2AD=。

（1）连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线。

（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数。

（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，可求出EG=BE=5，由Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长，从而求出⊙O的半径。