Question

如图，已知抛物线y=﹣x²+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．

（1）抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；

（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

Answer

（1），直线AC的函数关系式为y=x+1（2）（3）（2，3）、（0，1）、、。（4）

【解析】【解析】
（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，

，解得。∴抛物线的函数关系式为。

设直线AC的函数关系式为y=kx+n，由直线AC过点A（﹣1，0）及C（2，3）得

，解得。∴直线AC的函数关系式为y=x+1。

（2）作N点关于直线x=3的对称点N′，

    令x=0，得y=3，即N（0，3）。

∴N′（6， 3）

由得

D（1，4）。

设直线DN′的函数关系式为y=sx+t，则

，解得。

∴故直线DN′的函数关系式为。

根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，

∴。

∴使MN+MD的值最小时m的值为。

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），

     ①当BD为平行四边形对角线时，由B、C、D、N的坐标知，四边形BCDN是平行四边形，此时，点E与点C重合，即E（2，3）。

     ②当BD为平行四边形边时，

∵点E在直线AC上，∴设E（x，x+1），则F（x，）。

又∵BD=2

∴若四边形BDEF或BDFE是平行四边形时，BD=EF。

∴，即。

若，解得，x=0或x=1（舍去），∴E（0，1）。

若，解得，，∴E或E。

综上，满足条件的点E为（2，3）、（0，1）、、。

（4）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，

设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）。

∴。

∴ 

。

               ∵，

∴当时，△APC的面积取得最大值，最大值为。

（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。

（2）根据轴对称的性质和三角形三边关系作N点关于直线x=3的对称点N′，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小。

（3）分BD为平行四边形对角线和BD为平行四边形边两种情况讨论。

（4）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3），求得线段PQ=﹣x2+x+2。由图示以及三角形的面积公式知，由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值。