Question

如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax²+bx+c经过O，D，C三点．

（1）求AD的长及抛物线的解析式；

（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？

（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）AD=3，（2）当或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似（3）存在符合条件的M、N点，它们的坐标为：①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）；

②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（4，），N3（4，﹣）

【解析】【解析】
（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10。

由折叠的性质得，△BDC≌△EDC，∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD。

由勾股定理易得EO=6。∴AE=10﹣6=4。

设AD=x，则BD=CD=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=（8﹣x）2，解得，x=3。

∴AD=3。

∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），

∴，解得。∴抛物线的解析式为：。

 （2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，

由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5。而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t。

当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，

∴，即，解得。

当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，

∴，即，解得。

∴当或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似。

（3）存在符合条件的M、N点，它们的坐标为：①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）；

②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（4，），N3（4，﹣）。

（1）根据折叠图形的轴对称性，△CED≌△CBD，在Rt△CEO中求出OE的长，从而可得到AE的长；在Rt△AED中，AD=AB﹣BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的长．进一步能确定D点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式。

 （2）由于∠DEC=90°，首先能确定的是∠AED=∠OCE，若以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似，那么∠QPC=90°或∠PQC=90°，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的t的值。

（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：

①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点。

由得抛物线顶点，则：M（4，）。

∵平行四边形的对角线互相平分，∴线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，﹣）。

②EC为平行四边形的边，则ECMN，

设N（4，m），则M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）；

将M（﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38，

此时 N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）；

将M（12，m﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26，

此时 N（4，﹣26）、M（12，﹣32）。

综上所述，存在符合条件的M、N点，它们的坐标为：①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）；

②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（4，），N3（4，﹣）。