Question

在锐角三角形ABC中，BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是        。

Answer

【解析】
（1）证明：在等腰梯形ABCD中，AB=DC，∴∠B=∠C。

∵OE=OC，∴∠OEC=∠C，∴∠B=∠OEC。∴OE∥AB。

（2）证明：过点O作OF⊥AB于点F，过点O作OG∥BC交AB于点G。

∵AB=DC，∴∠B=∠C。

∴OC=OE，∴∠OEC=∠C。∴∠OEC=∠B。∴OE∥GB。

又∵EH⊥AB，∴FO∥HE。∴四边形OEHF是平行四边形。∴OF=EH。

又∵EH=CD，∴OF=CD，即OF是⊙O的半径。

∴AB是⊙O的切线。

（3）连接DE。

∵CD是直径，∴∠DEC=90°。∴∠DEC=∠EHB。

又∵∠B=∠C，∴△EHB∽△DEC。∴。

∵BE=4BH，设BH=k，则BE=4k，

，

∴CD=2EH=2。∴。

【解析】（1）判断出∠B=∠OEC，根据同位角相等得出OE∥AB。

（2）过点O作OF⊥AB于点F，过点O作OG∥BC交AB于点G，证明OF是⊙O的半径即可。

（3）求出△EHB∽△DEC，根据相似三角形的性质和勾股定理解答。