Question

如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC=AB，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．

（1）如图1，求证：△PCD∽△ABC；

（2）当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图2中画出△PCD并说明理由；

（3）如图3，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．

Answer

（1）证明见解析（2）当PC是⊙O的直径时，△PCD≌△ABC，，理由见解析（3）30°

【解析】【解析】
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。

∵PD⊥CD，∴∠D=90°。∴∠D=∠ACB。

∵∠A与∠P是所对的圆周角，∴∠A=∠P，∴△PCD∽△ABC。

（2）当PC是⊙O的直径时，△PCD≌△ABC。理由如下：

∵AB，PC是⊙O的半径，∴AB=PC。

∵△PCD∽△ABC，∴△PCD≌△ABC。

画图如下：

（3）∵∠ACB=90°，AC=AB，∴∠ABC=30°。

∵△PCD∽△ABC，∴∠PCD=∠ABC=30°。

∵CP⊥AB，AB是⊙O的直径，∴。∴∠ACP=∠ABC=30°。

∴∠BCD=∠AC﹣∠ACP﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°。

（1）由AB是⊙O的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由PD⊥CD，可得∠D=∠ACB，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠P，根据有两角对应相等的三角形相似，即可判定：△PCD∽△ABC。

（2）由△PCD∽△ABC，可知当PC=AB时，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得。

（3）由∠ACB=90°，AC=AB，可求得∠ABC的度数，然后利用相似，即可得∠PCD的度数，又由垂径定理，求得，然后利用圆周角定理求得∠ACP的度数，从而求得答案。